Question

若对于定义在R上的函数f （x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得对任意实数x都有 f （x+λ）+λf （x）=0成立，则称f （x） 是一个“λ-伴随函数”，有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f （x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②f （x）=x²是一个“λ-伴随函数”；
③“-伴随函数”至少有一个零点；
④f（x）=log₂x是一个“λ-伴随函数”
其中正确的序号是    ．

Answer

设f（x）=C，得到（1+λ）C=0，当λ=-1时，C可以取遍实数集，由此可判断①的正误；假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可判断②的正误；令x=0，可得f（）=-f（0）．由此可判断③的正误；由f（x）=log2x的定义域不是R可判断④的正误．
【解析】
设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，
当λ=-1时，C可以取遍实数集，
因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．故①错误；
用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，
则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，
所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．故②错误；
令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=-f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，
所以f（x）在（0，）上必有实数根．
因此任意的“-同伴函数”必有根，即任意“-同伴函数”至少有一个零点，故③正确；
因为f（x）=log2x的定义域不是R．故④错误．
故答案为：③．