Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（1）当点P在DD₁上运动时，是否都有MN∥平面A₁C₁P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）

Answer

（1）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P．由线面平行的判定定理证明即可
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够推导出当时，二面角P-MN-B1 为直二面角．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况即可．
【解析】
（1）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P   …（1分）
证明如下：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1∥CC1
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A1C1
又∵MN⊄面A1C1P，A1C1⊂平面A1C1P，
∴MN∥平面A1C1P，…（4分）
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，，0），N（，1，0），B1（1，1，1），P（0，0，t），
∴=（-，，0），=（0，，1），=（-1，-，t），
设平面MNB1的法向量为=（x，y，z），则，=0，
∴，解得=（2，2，-1）．
设平面MNP的法向量为，则，，
∴，解得=（1，1，），
∵二面角P-MN-B1 为直二面角，
∴=2+2-=0，解得t=．
故当时，二面角P-MN-B1 为直二面角．…（9分）
（3）符合条件的表面展开图还有5个，如图，正确画出一个得（1分）…（13分）