Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；
（2）设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），求出切线方程，代入点P的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．
（1）【解析】
f'（x）=3x2+2ax-a2=3（x+a）（x-）
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴
∴函数单调递减区间[，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x3+2
设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x2，∴在点A处的切线斜率为k=
∴在A处的切线方程为y-（x13+2）=（（x-x1）
∵切线过点P，∴t-（x13+2）=（（2-x1）
∴①
同理②
①-②可得
∵x1≠x2，∴
∵x1≠x2，∴
∴
∴0＜x1+x2＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）【解析】
由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a2+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵
∴x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x=时，f（x）有最小值f（）=-
∴f（）=-＞0①，f（0）＜2（-）②，f（1）＜2（-）③，
由①得a＜；由②得，∵0＜a＜2，∴
不等式③化为＜0
令g（a）=，则g′（a）=，∴g（a）为增函数
∵g（2）=-＜0，∴当时，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正实数a的取值范围为．