Question

已知函数f（x）=cos²-sin．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

Answer

（Ⅰ）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由余弦函数的递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数的递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式，以及f（a）=，求出cos（α+）的值，将所求式子变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，将cos（α+）的值代入即可求出值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=cos2-sincos-=（1+cosx）-sinx-=cos（x+），
∵ω=1，∴f（x）的最小正周期为2π；
令2kπ-π≤x+≤2kπ，k∈Z，解得：2kπ-≤x≤2kπ-，k∈Z，
则函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ-]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，
∴cos（α+）=，
∴sin2α=-cos（+2α）=-cos2（α+）=1-2cos2（α+）=1-=．