(Ⅰ)先求导得到f′(x),令f′(x)=0,解出a的值,并验证a的值是否满足极值的条件.
(Ⅱ)先求导得到f′(x),然后对a分类讨论,看f′(x)是大于0还是小于0,从而得到f(x)的单调区间.
(Ⅲ)把要求的问题:“存在x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,”转化为“对于x∈(0,e],|f(x)min-g(x)max|<9”.进而求出a的取值范围.
【解析】
(Ⅰ) ,x∈(0,e].
由已知f'(1)=2a-2=0,解得a=1,此时.
在区间(0,1)上,f′(x)<0;在区间(1,e)上,f′(x)>0.
∴函数f(x)在x=1时取得极小值.
因此a=1时适合题意.
(Ⅱ) ,x∈(0,e].
1)当a≤0时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数.
2)当a>0时,.
①若,即,
则f(x)在上是减函数,在上是增函数;
②若,即,则f(x)在(0,e]上是减函数.
综上所述,当时,f(x)的减区间是(0,e],
当时,f(x)的减区间是,增区间是.
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)可知:当x=时,函数f(x)取得最小值,且.
∵g(x)=-5,∴函数g(x)在区间(0,e]上单调递增.
∴当x=e时,函数g(x)取得最大值,且g(x)max=g(e)=-4-lna.
∵存在x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,
∴必有对于x∈(0,e],|f(x)min-g(x)max|<9.又∵,
联立得,解得.
∴a的取值范围是.