Question

设m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，给出下列四个命题：
①；       ②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，则n=7；
③；      ④．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

利用二项式系数的性质可得①正确，②不正确，由组合数的计算公式可得③正确，根据kCkn=nCk-1n-1 ，可得④正确，从而得出结论．
【解析】
由于m，n，k∈N*，且m≤n，k≤n，n≥2，利用二项式系数的性质可得①成立，故①正确．
②在（1+x）n的展开式中，若只有x4的系数最大，故只有最大，故n=8，故②不正确．
再由组合数的计算公式可得==，==，
故③正确．
④根据=nCn-1+nCn-11+nCn-12+nCn-13+…+nCn-1n-1
=n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1，故④正确．
综上，①③④正确，②不正确，
故选C．