Question

如图，设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC 内接于同一个球O．若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为 45°，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是    ．

Answer

取AB的中点M，连接PM，QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，故∠PMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，∠QMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角，由此可得结论．
【解析】
如图，取AB的中点M，连接PM，QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，∠QMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=45°，
设PR=h，OP=R，则MR=h，OR=R-h，
∴R2=4h2+（R-h）2，
∴R=2.5h
∴QR=4h
∵MR=h
∴正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是=4
故答案为：4．