Question

将（如图甲）直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图乙所示．
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D-BF-E的大小．
（3）若F、A、B、C、D这五个点在同一个球面上，求该球的表面积．

Answer

先建立空间直角坐标系（1）求出两条异面直线的方向向量的夹角，进而即可异面直线的夹角；
（2）先求出两个平面的法向量的夹角，进而即可求出二面角的大小；
（3）取BF的中点H，可证明H点即为球心，进而可计算出表面积．
【解析】
∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，
∴分别以DA、DC、DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2）．
（1）∵=（1，1，0），=（0，-1，1），∴cos＜，＞=，∴=，
∴异面直线BD与EF所成的角为．
（2）∵AC⊥BD，AC⊥DF，∴AC⊥平面BDF，
∴平面BDF的法向量为=（-1，1，0），
又设平面BEF的一个法向量为=（1，y，z），而=（-1，0，1），=（0，-1，1）．
则由⇒，
得y=z=1．∴=（1，1，1）．
∵cos＜＞==0
∴二面角D-BF-E的大小为90°．
（3）设对角线AC与BD相较于点G，取BF的中点H，连接GH，DH，由直角三角形BDF、ABF、BCF，则HD=HF=HB=HA=HC，
∴H即为球心，且HD==．
∴S球=4π=6π．