Question

设数列{a_n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若，用n，x表示A_n．

Answer

（1）依题意，a1=•，由排列数与组合数的意义可得到关于m的不等式组，从而可求得m；
（2）利用二项展开式的通项公式可求得q=x，从而可得数列{an}的通项an和前n项和Sn（需对x分x=1与x≠1分类讨论）；
（3）当x=1时，Sn=n，An=+2+3+…+n，利用倒序相加法与++++…+=2n即可求得An；
当x≠1时，Sn=，An=[（1-x）+（1-x2）+（1-x3）+…+（1-xn）]，利用分组求和的方法即可求得An．
【解析】
（1）∵a1=•，
∴⇔
∴m=3．…（2分）
∴a1=•=1…（3分）．
（2）由知q=T2=x3••x-2=x．（5分）
∴an=xn-1，
∴Sn=．…（6分）
（3）当x=1时，Sn=n．An=+2+3+…+n…①
而An=n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+…②
又∵=，=，=，…
①②相加得2An=n（++++…+）=n•2n，
∴An=n•2n-1…．（9分）
当x≠1时，Sn=，
An=[（1-x）+（1-x2）+（1-x3）+…+（1-xn）]
=[（++++…+）--（x+x2+…+xn）]
=[（2n-1）-（（1+x）n-1）]
=[2n-（1+x）n]…．（11分）
∴…．（12分）