Question

设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数
y=f（x）的判断：①y=f（x）是周期函数；②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；③y=f（x）在[0，1]上是增函数；④．其中正确判断的序号是    ．（把你认为正确判断的序号都填上）

Answer

由题意y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），可以知道该函数的周期为2，在利用f（x）为偶函数且在[-1，0]上为增函数，可以由题意画出一个草图即可判断．
【解析】
因为f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函数的周期定义可知该函数的周期为2，由于f（x）为定义在R上的偶函数且在[-1，0]上为单调递增函数，所以由题意可以画出一下的函数草图为：

由图及题中条件可以得到：
①正确，周期T=2；
②由图可以知道该函数关于x=1对称，所以②正确；
③有已知条件 y=f（x）是定义在R上的偶函数且在[-1，0]上是增函数，所以y=fx）在[0，1]上为单调递减函数，故③错；
④对于f（x+1）=-f（x），令x=-，得到：f（）=-f（-）⇒（因为函数f（x）为偶函数）∴故④正确．