Question

如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer

（1）由AB∥DC，AD⊥DC，知AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，所以BD=，BC=，由此能证明BD⊥平面B1BCC1．
（2）DC的中点即为E点．由DE∥AB，DE=AB，知四边形ABED是平行四边形．故AD∥BE．由此能够证明D1E∥平面A1BD．
（1）证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，
∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，
∴BD=，
易求BC=，
又∵CD=2，∴BD⊥BC．
又BD⊥BB1，B1B∩BC=B，

∴BD⊥平面B1BCC1．
（2）DC的中点即为E点．
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD∥BE．
又AD∥A1D1，∴BE∥A1D1，
∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B．
∵D1E⊄平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD．