Question

如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．

Answer

（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．
（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．
（本小题满分14分）
证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．---（1分）
又EF⊄平面PAB，-----（2分）
AB⊂平面PAB，------（3分）
∴EF∥平面PAB．-----（4分）
（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，
∴PE⊥AC．-----（5分）
∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC．-----（7分）
∴PE⊥BC．-----（8分）
又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，------（10分）
又EF∩PE=E，
∴BC⊥平面PEF．------（12分）
∴平面PEF⊥平面PBC．----（14分）