Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．
（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；
（2）求圆柱的侧面积；               
（3）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer

（1）由题设条件能画出圆锥及其内接圆柱的轴截面．
（2）设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，由，能求出圆柱的侧面积．
（3）由圆柱的侧面积S是关于x的二次函数S=-，能推导出当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．
【解析】
（1）圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
（2）设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵，∴r=R-，
∴S=2πRx-．
（3）由（2）知圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：
S=-，
∵S的表达式中x2的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高x=-=，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．