Question

已知函数f（x）=e^-x+ax，
（Ⅰ）已知x=-1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（ III）求证：函数f（x）的图象不落在直线y=（a-1）x的下方．

Answer

（Ⅰ）因为x=-1是函数f（x）的极值点，直接由f′（1）=0求a的值；
（Ⅱ）代入1后，求函数的导函数，由导函数等于0求x的值，由求得的x值把定义域分段后分析导函数在各段内的符号，从而找出极值点并求出极值；
（Ⅲ）构造辅助函数g（x）=f（x）-（a-1）x，化简后利用导函数求其极小值，从而得到函数g（x）在定义域内恒大于0，说明函数f（x）的图象不落在直线y=（a-1）x的下方．
【解析】
（I）由f（x）=e-x+ax，得：f'（x）=-e-x+a，
因为x=-1是函数f（x）的极值点，所以f'（-1）=-e+a=0，解得：a=e，
经检验 a=e符合条件．
（II） 令f'（x）=-e-x+1=0，得：x=0，
列表如下，

当x=0时，f（x）极小值为1．
（III）令g（x）=f（x）-（a-1）x=e-x+x，
令g'（x）=-e-x+1=0，得x=0，
由（Ⅱ）知，函数g（x）在（-∝，0）上为减函数，在（0，+∝）上为增函数，
所以，函数g（x）在（-∝，+∞）上有最小值g（0）=1．
所以g（x）≥g（0）=1＞0，即f（x）＞（a-1）x．
所以，函数f（x）的图象不落在直线y=（a-1）x的下方．