Question

已知点A（-1，1），若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为T型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）
②y=（-≤x≤0）
③y=-（x＞0），
则T型曲线的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

曲线①，点在线外，求出点到直线的距离为，即BC边上的高为，进一步分析知所求正三角形的边长为，写出以A为圆心，以为半径的圆，和直线方程联立求解判断；
对于②，把给定的曲线方程变形，得到曲线曲线形状，知点A在曲线上，通过分析极端情况判断；
对于③，根据对称性，判出如果存在B、C，则两点连线的斜率以应为1，设出B、C连线方程，根据正三角形边长与高的关系，列方程求解．
【解析】
对于①，A（-1，1）到直线y=-x+3的距离为，若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则|AB|=|AC|=，，以A为圆心，以为半径的圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=6，联立
解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．
对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．
对于③，根据对称性，若上存在两点B、C使A、B、C构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设B、C所在直线方程为x-y+m=0，由题意知A到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m=-，所以曲线③是T型线．
故选B．