Question

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
（1）求a_n与b_n；
（2）证明：≤++…+＜．

Answer

（1）利用b2+S2=12和数列{bn}的公比q=，即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用叠加法即可获得问题的解答．
（1）【解析】
由已知等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．
∴q+3+a2=12，q=
∴q=3或q=-4（舍去），∴a2=6
∴an=3+（n-1）3=3n，bn=3n-1；
（2）证明：∵Sn=，∴
∴++…+=（1-+-…+-）=
∵n≥1，∴0＜≤
∴≤＜
∴≤++…+＜．