Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n．

Answer

（I）利用等差数列的通项公式，结合a3=10，a6=22，建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式；
（II），当n≥2时，，两式相减，即可证得数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列；
（III），再写一式，作差，即可得到结论．
（I）【解析】
∵数列{an}是等差数列，a3=10，a6=22，
∴解得 a1=2，d=4．
∴an=2+（n-1）×4=4n-2．…（4分）
（II）证明：由于，①
令n=1，得，解得
当n≥2时，②
①-②得，
∴
又，∴．
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．…（9分）
（III）证明：由（II）可得．…（9分）   
∴…（10分）
∴．
∵n≥1，故cn+1-cn＜0，
∴cn+1＜cn．…（13分）