Question

（理）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）．令f'（2）=0，能求出a的值．
（Ⅱ）当a=0时，．故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或．当0＜a＜1时，列表讨论f（x）与f'（x）的情况能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，由，知不合题意．当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．
（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）【解析】
．
依题意，令f'（2）=0，解得 ．
经检验，时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
①当a=0时，．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-1，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ f（x1） ↗ f（x2） ↘

所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是（-1，0）和．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-1，x2） x2 （x2，x1） x1 （x1，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ f（x2） ↗ f（x1） ↘

所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是，减区间是（-1，0）和；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是；减区间是和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，
由，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）