Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer

（1）取PD中点Q，连AQ、QF，易证EF∥AQ，根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD；
（2）欲证CD⊥EF，可先证直线与平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，从而得到CD⊥EF；
（3）先证∠QAD为AQ与平面ABCD所成角，在三角形QAD中求出此角，再根据AQ∥EF，得到EF与平面ABCD所成的角的大小．
【解析】
（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF
∴四边形AEFQ为平行四边形
∴EF∥AQ
又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内
∴EF∥面PAD；
（2）证明∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A
PA在平面PAD内，AD在平面PAD内
∴CD⊥面PAD
又∵AQ在平面PAD同
∴CD⊥AQ
∵EF∥AQ
∴CD⊥EF；
（3）解∵∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形
∴AQ⊥PD
∴∠QAD=45°
即AQ与平面ABCD所成角为45°
又∵AQ∥EF
∴EF与平面ABCD所成角45°．