过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且...

过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4 manfen5.com 满分网

．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．（1）【解析】直线方程为y=-x+4，联立方程消去y得，x2-2（p+4）x+16=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2-64＞0．所以|AB|=|x1-x2|==4，所以p=2．（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16， ∴y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p=-16 ∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等