Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由已知中数列{an}的前n项和Sn满足Sn（Sn-an）+2an=0，结合an=Sn-Sn-1，可得-为定值，进而得到数列{}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）可得数列{}的通项公式，进而得到Sn的通项公式，再由an与Sn的关系，得到数列{an}的通项公式
（III）由已知中Sn的通项公式，可得数列{bn}的通项公式，进而利用裂项相消法得到答案．
证明：（I）∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1，且Sn（Sn-an）+2an=0
∴Sn[Sn-（Sn-Sn-1）]+2（Sn-Sn-1）=0
即Sn•Sn-1+2（Sn-Sn-1）=0
即-=
又∵S1=a1=1，故数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列
（II）由（I）得：=
∴Sn=
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
∵n=1时，无意义
故an=
（III）∵==2（-）
∴Tn=2（1-+-+…+-）=2（1-）=