Question

已知函数f（x）=log_0.5（sin2x）
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．

Answer

（1）由sin2x＞0，能求出f（x）的定义域，由0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，能求出f（x）的值域，由f（x）的单调递减区间满足，单调递增区间满足2kπ+≤2x＜2kπ+π，k∈Z，能求出f（x）的单调区间．
（2）由，而没有意义，知f（x）是非奇非偶函数由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，知f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
【解析】
∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，即，
∴f（x）的定义域为．
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足，∴，
故f（x）的单调递减区间为；
∵f（x）的单调递增区间满足2kπ+≤2x＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+≤x＜kπ+，k∈Z．
故f（x）的单调递增区间为．
（2）因，而没有意义
故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．