Question

已知函数f（x）为偶函数，则“f（1-x）=f（1+x）”是“2为函数f（x）的一个周期”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

先看充分性：令1+x=t将条件“f（1-x）=f（1+x）”转化为f（t）=f（2-t），再由f（x）为偶函数得到f（2+t）=f（t）得证．
必要性：由f（x）是以2为周期的周期函数，得到f（2+x）=f（x），进而有f（2-x）=f（-x），再由偶函数转化为f（2-x）=f（x）进而有f（1-x）=f（1+x）得证．
【解析】
充分性：
令1+x=t
∴x=t-1
∴f（t）=f（2-t）
又∵f（x）为偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴f（2+t）=f（t）
∴f（x）是以2为周期的周期函数．
必要性：
∵f（x）是以2为周期的周期函数．
∴f（2+x）=f（x）
∴f（2-x）=f（-x）
∵函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴f（2-x）=f（x）
∴f（1-x）=f（1+x）
故选C