Question

若关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7]
B．（-∞，-20]
C．（-∞，0]
D．[-12，7]

Answer

设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3（舍），由f（-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，由此能求出关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范围．
【解析】
设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，
令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3，
∵3∉[-2，2]，∴x2=3（舍），
列表讨论：

 x  （-2，-1） -1  （-1，2）
 f′（x） +  0 -
 f（x） ↑  极大值 ↓

∵f（-2）=-8-12+18+2=0，
f（-1）=-1-3+9+2=7，
f（2）=8-12-18+2=-20，
∴y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，
∵关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，
∴m≤-20，
故选B．