Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（）及f（）；
（2）证明f（x）是周期函数．

Answer

（1）已知任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），令x1=x2=，求出f（），根据=进行求解；
（2）已知f（x）为偶函数，再根据f（x）关于x=1对称，进行证明；
解；（1）∵f（1）=f（+）=f（）•f（）=f2（）=a，
∴f（）=±
又∵f（）=f（+）=f2（）＞0，
∴f（）=同理可得f（）=
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）
又∵f（x）关于x=1对称，
∴f（x）=f（2-x）
∴f（x）=f（-x）=f[2-（-x）]=f（2+x）  （x∈R）
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．