(Ⅰ)当a=1时,求导函数,确定切点坐标与切线的斜率,即可得到曲线y=f(x)在原点处的切线方程;
(Ⅱ)求导函数可得,分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间.
【解析】
(Ⅰ)当a=1时,,. …(2分)
∴f'(0)=2,
∵f(0)=0,
∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程是2x-y=0.…(4分)
(Ⅱ)求导函数可得,. …(6分)
当a=0时,,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减. …(7分)
当a≠0,.
①当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-a,,f(x)与f'(x)的情况如下:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) - + -
f(x) ↘ f(x1) ↗ f(x2) ↘
故f(x)的单调减区间是(-∞,-a),;单调增区间是.…(10分)
②当a<0时,f(x)与f'(x)的情况如下:
x (-∞,x2) x2 (x2,x1) x1 (x1,+∞)
f'(x) + - +
f(x) ↗ f(x2) ↘ f(x1) ↗
所以f(x)的单调增区间是;单调减区间是,(-a,+∞).…(13分)
综上,a>0时,f(x)在(-∞,-a),单调递减;在单调递增.a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;a<0时,f(x)在,(-a,+∞)单调递增;在单调递减.