Question

已知椭圆C：的离心率为，一个焦点为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M（0，3）为圆心的圆上，求k的值．

Answer

（Ⅰ）利用离心率为，一个焦点为，可求a，c的值，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设将直线l的方程代入椭圆C的方程，确定线段AB的中点为D，利用点A，B都在以点（0，3）为圆心的圆上，得kMD•k=-1，由此可求k的值．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则．              …（1分）
由，得 ，从而b2=a2-c2=4．    …（4分）
所以，椭圆C的方程为．                    …（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4（1+3k2）x2-60kx+27=0．             …（7分）
由△=3600k2-16（1+3k2）×27＞0，得，且． …（9分）
设线段AB的中点为D，则，．…（10分）
由点A，B都在以点（0，3）为圆心的圆上，得kMD•k=-1，…（11分）
即 ，解得 ，符合题意．  …（13分）
所以 ．                          …（14分）