Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右分支分别交于A，B两点．若AB：BF₂：AF₂=3：4：5，则双曲线的离心率为    ．

Answer

根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．
【解析】
∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，
∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，
又由双曲线的定义得：|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF1|+3-4=5-|AF1|，∴|AF1|=3．
∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，∴a=1．
在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，
又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，
∴c=，
∴双曲线的离心率e==．