Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，．
（1）画出该三棱柱的三视图，并标明尺寸；
（2）求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积；
（3）若D是棱CC₁的中点，则当点E在棱AB何处时，DE∥平面AB₁C₁？并证明你的结论．

Answer

（1）根据三视图的画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”即可画出；
（2）通过等积变形及三棱锥与同底等高的三棱柱的体积关系即可得出；
（3）通过面面平行即可得到线面平行．
【解析】
（1）三视图如图所示：
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴由勾股定理得．
又∵，AA1⊥平面ABC，∴矩形ACC1A1为正方形．
∴．
（3）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1．
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连EF、DF、DE，
∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，
∴EF∥AB1．
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1．
同理可证FD∥平面AB1C1．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB1C1．
∵DE⊂平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1．