Question

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x-y|＞10”的概率．

Answer

（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率等于1减去其它小组的频率，第四个小矩形的高等于频率除以组距．
（2）这次考试的及格的频率等于60分以上各个组的频率之和，此值即为及格的概率．用各个组的平均值乘以该组的频率，即得所求的平均分．
（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有4人，90～100分的学生有2人，满足“|x-y|＞10”的选法有 4×2=8种，而所有的取法有 =15种，由此求得“|x-y|＞10”的概率．
【解析】
（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率为 1-10（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．
故第四个小矩形的高为=0.03．如图所示：

（2）由于这次考试的及格的频率为10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率为0.75．
由频率分布直方图可得平均分为 0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．
（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的学生有40×0.05=2人，记取出的2个人的成绩为x，y，
“|x-y|＞10”说明选出的2个人一个成绩在[40，50）内，另一个在[50，60）内，
故满足“|x-y|＞10”的选法有 4×2=8种，而所有的取法有 =15种，
故满足“|x-y|＞10”的概率等于 ．