Question

已知向量
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值为-3，求实数k的值；
（3）若对任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据向量垂直的充要条件的坐标表示式，建立关于x、y的等式，从中解出用x表示y的式子，即可得到函数y=f（x）的解析式．
（2）将f（x）表达式的分子、分母都除以2x，得到它的分母2x+2-x+1≥2+1=3．再根据k与1的大小关系分类讨论，即可得到必定有k＜1，且当2x=2-x=1即x=0时，函数有最小值为-3，由此解关于k的等式即得实数k的值．
（3）根据构成三角形的条件，得出不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，然后分三种情况进行讨论，转化为f（x1）+f（x2）的最小值与f（x3）的最大值的不等式，进而可以求出实数k 的取值范围．
【解析】
（1）∵
∴（4x+1）（y-1）+2x（y-k）=0，化简整理得y（4x+2x+1）=4x+k•2x+1
因此，函数y=f（x）的解析式为y=；
（2）∵f（x）==1+
∴根据函数f（x）的最小值为-3，得t=的最小值为-4
∵2x+2-x+1≥2+1=3
∴当k＞1时，=≤；当k＜1时，=≥；
k=1时，函数f（x）=1恒成立不符合题意．
∴结合题意可得k＜1，且当且仅当2x=2-x=1，即x=0时，t的最小值为=-4，解之得k=-11
即函数f（x）的最小值为-3时，实数k的值为-11；
（3）∵对任意实数x1、x2、x3，都存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，
∴f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意的x1、x2、x3∈R恒成立．
当k＞1时，因为2＜f（x1）+f（x2）≤且1＜f（x3）≤，
∴≤2，解之得1＜k≤4；
当k=1时，可得f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足题意的条件；
当k＜1时，因为≤f（x1）+f（x2）＜2，且≤f（x3）＜1，
∴≥1，解之得-≤k＜1；
综上所述，实数k的取值范围是[-，4]