Question

已知函数f （ x ）=3^x，f （ a+2 ）=18，g （ x ）=λ•3^ax-4^x的义域为[0，1]．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g （ x ）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由条件f （ a+2 ）=18建立关于a的等量关系，求出a即可
（2）将第一问的a代入得g（x）=λ•2x-4x，g （x）在区间[0，1]上是单调递减函数，可利用函数单调性的定义建立恒等关系，分离出λ，求出2x2+2x1的最值即可．
【解析】
（Ⅰ）由已知得3a+2=18⇒3a=2⇒a=log32
（Ⅱ）此时g（x）=λ•2x-4x
设0≤x1＜x2≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数
所以g（x1）-g（x2）=（2x2-2x1）（-λ+2x2+2x1）≥0成立
∵2x2-2x1＞0
∴λ≤2x2+2x1恒成立由于2x2+2x1≥2+2=2
所以实数λ的取值范围是λ≤2