Question

设f（x）=x²+ax，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜4
B．a=0
C．0＜a≤4
D．0≤a＜4

Answer

根据已知中f（x）=x2+ax，我们分a=0时和a≠0时，对{{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
【解析】
∵f（x）=x2+ax，
∴f（f（x））=f（x）2+af（x）=（x2+ax）2+a•（x2+ax）=x4+2ax3+（a2+a）x2+a2x
当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅
当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，-a}
若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，-a}
则f（f（-a））=0且除0，-a外f（f（x））=0无实根
即x2+ax+a=0无实根
即a2-4a＜0，即0＜a＜4
综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4
故选D