Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．

Answer

（1）根据BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，根据线面垂直的性质可知BM⊥AE，而AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM⊂平面EBC，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面EBC，根据BC⊂平面EBC，则AE⊥BC．
（2）取DE中点H，连接MH、AH，根据BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，可知BM⊥EC，因为BE=BC，则M为CE的中点．根据中位线可知MH∥，且MH=，因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，且DC=AB，则MH∥，且MH=，而N为AB中点，则MH∥AN，且MH=AN，从而四边形ANMH为平行四边形，则MN∥AH，因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，根据线面平行的判定定理可知MN∥平面ADE．
证明：（1）因为BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
所以BM⊥AE．（2分）
因为AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM⊂平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．（4分）
因为BC⊂平面EBC，
所以AE⊥BC．（6分）
（2）取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE=BC，
所以M为CE的中点．（8分）
所以MH为△EDC的中位线．
所以MH∥，且MH=．（10分）
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥，且MH=．
因为N为AB中点，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，
所以MN∥AH．（12分）
因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，
所以MN∥平面ADE．（14分）