Question

在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．
【解析】
△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵，S△ABC=6
∴bccosA=9，
∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设则，
∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
=
故所求的最小值为
故选：C