Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：
①f=f（x）+f（y）    ②f（2）=1    ③当x＞1时，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围．

Answer

（1）在①中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值
（2）在①中令y=，结合（1）中f（1）=0，当x＞1时，f（x）＞0，分析f（x2）-f（x1）的符号，结合函数单调性的定义，可得答案．
（3）由f（2）=1，可得2=f（4），结合（2）中函数的单调性，可将不等式f（x）+f（2x）≤2，转化为不等式组，解得x的取值范围．
【解析】
（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分）
（2）在①中令y=，得f（1）=f（x）+f（）=0
即f（）=-f（x），
函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x1，x2，设x2＞x1＞0，
∴＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（）=f（）＞0   …（6分）
f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化为

解得0＜x≤．…（12分）