Question

已知函数f（x）=2cos²x-2sinxcosx-，
（1）求函数的最小正周期及取得最小值的x的集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
（3）求f（x）在处的切线方程．

Answer

利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期；利用正弦函数的最值，求出函数f （x）的最小值，以及取得最小值时x的取值集合；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f （x）的单调减区间；
（3）先求函数的导数，然后求出切线的斜率，即可求出结果．
【解析】
（1）∵f（x）=2cos2x-2sinxcosx-=（cos2x+1）-sin2x- …（2分）
=2cos（2x+）=…（4分）
最小正周期为π           …（5分）
当时，即函数有最小值-2  …（7分）
（2）2kπ-π≤2x+≤2kπ            …（8分）
∴kπ-≤x≤kπ-，k∈Z
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ-]，k∈Z   …（10分）
（3）因为…（11分）
所以…（12分）
而
从而f（x）在处的切线方程为
即…（14分）