Question

已知函数，（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的实数m的取值范围．

Answer

（1）利用定义法设x1，x2∈R，且x1＜x2，再根据f（x1）-f（x2）与0的大小比较，对其进行化简，然后再对a进行讨论，从而求解；
（2）先证明f（x）是奇函数，再将f（1-m）+f（1-m2）＜0移项，利用奇函数的性质和函数的单调性进行求解；
【解析】
（1）函数f（x）在R上为增函数．                       
证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=[（ax1-a-x1）-（ax2-a-x2）]=，
当a＞1时，a2-1＞0，ax1-ax2＜0，
∴f（x1）＜f（x2）；
当0＜a＜1时，a2-1＜0，ax1-ax2＞0，
∴f（x1）＜f（x2）；
∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；
（2）∵f（x）定义域为（-1，1），在数轴上关于原点对称，…（8分）
又∵==-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数．                        …（10分）
由f（1-m）+f（1-m2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m2），∴f（1-m）＜f（m2-1），…（12分）
∴，…（14分）
解得即为所求m 的取值范围．                   …（15分）