Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明（n∈N，n≥2）．

Answer

（Ⅰ）先求函数的导函数，根据若时，f（x）取得极值得f′（）=0，解之即可；
（Ⅱ）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；
（Ⅲ）当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，求出g（x）的最大值，得到lnx≤x-1，然后转化成n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1，
从而得到则，再累积加，最后利用裂项求和法得到不等式的右边．
【解析】
，
（Ⅰ）因为时，f（x）取得极值，所以，
即2+1+a=0，故a=-3．（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2-8，
（1）当△≤0，即时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
（2）当△＞0，即或时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x2+ax+1，
由得a＞0，所以．
由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是．（9分）
（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，其定义域是（0，+∞），
令，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．
而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1．则．
所以
=
＜
==．
所以结论成立．