Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，，P、Q分别是CD₁和A₁A的中点，
求证：
（1）PQ∥面ABCD；
（2）面DPQ⊥面BB₁D₁D．

Answer

（1）取CD中点M，连接AM、PM．利用三角形中位线定理并结合长方体的性质，可得四边形AMPQ是平行四边形，可得PQ∥AM
，最后利用线面平行的判定定理，可得PQ∥面ABCD；
（2）根据平面几何相似三角形的判定，可得AM⊥BD，结合PQ∥AM可得PQ⊥BD．由线面垂直的性质定理，得到PQ⊥平面BB1D1D，进而得到平面DPQ⊥平面BB1D1D．
证明：（1）取CD中点M，连接AM、PM．
∵P、Q分别是CD1和A1A的中点，
∴，，…（2分）
∴PM∥AQ，PM=AQ，可得四边形AMPQ是平行四边形，
∴PQ∥AM，…（5分）
又∵AM⊂平面ABCD，PQ⊈平面ABCD，
∴PQ∥平面ABCD．…（7分）
（2）∵AD=1，，，
∴AD2=AB•DM，可得△ADM～△BAD，
∴∠DAM=∠ABD=90°-∠ADB，
∴AM⊥BD，结合PQ∥AM，可得PQ⊥BD，…（10分）
又∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B1B⊥平面ABCD，
∵AM⊂平面ABCD，∴B1B⊥AM，
∵AM∥PQ，∴PQ⊥B1B，…（12分）
又∵BD∩B1B=B，BD、BB1⊂平面BB1D1D，∴PQ⊥平面BB1D1D，
∵PQ⊂平面DPQ，∴平面DPQ⊥平面BB1D1D．…（14分）