Question

已知曲线C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠1时，若曲线C与直线y=2x-1相切，求a的值；
（3）对所有的a∈R且a≠1，是否存在直线l与曲线C总相切？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

先提取参数a，令a的系数为0，求解曲线的所过定点的坐标；对方程配方，得圆的方程，
利用直线与圆相切的条件d圆心到直线=R求解（2）；
利用圆心轨迹的参数方程，可求圆心所在直线，由（1）曲线过定点，可求得定直线，再证明其符合条件即可．
或假设存在，设直线方程，利用待定系数法求解即可．
【解析】
（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2+2y-1）+（-2x-2y+2）a=0，
由，…（2分）
解得，点（1，0）满足C的方程，
故曲线C过定点（1，0）．…（4分）
（2）原方程配方得（x-a）2+（y-a+1）2=2（a-1）2；由于a≠1，所以2（a-1）2＞0，
所以C的方程表示圆心是（a，a-1），半径是的圆．…（6分）
由题意得圆心到直线距离，…（8分）
∴，解得．…（10分）
（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为（x，y），则有，
消去a得y=x-1，故圆心必在直线y=x-1上．
又曲线C过定点（1，0），所以存在直线l与曲线C总相切，…（12分）
直线l过点（1，0）且与直线y=x-1垂直；
∴l方程为y=-（x-1）即y=-x+1．…（16分）
法二：假设存在直线l满足条件，显然l不垂直于x轴，设l：y=kx+b，
圆心到直线距离，
∴对所有的a∈R且a≠1都成立，…（12分）
即（k+1）2a2-2（2k2+k+kb-b+1）a+2（k+1）2-（b+1）2=0恒成立
∴∴
∴存在直线l：y=-（x-1）即y=-x+1与曲线C总相切．…（16分）