Question

在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer

（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A1DE的距离；
（2）确定•=-2+2=0，可得⊥，从而可得CF∥平面A1DE；
（3）确定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
（1）【解析】
分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
设平面A1DE的法向量是=（a，b，c）
则，∴=（-2，1，2）
∴点A到平面A1DE的距离是d==；
（2）证明：∵=（0，-2，1），
∴•=-2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A1DE；
（3）【解析】
∵平面A1DA的法向量为=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（-2，1，2）
∴cos＜＞===．