Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

Answer

（Ⅰ）先根据离心率和焦半径求得a，进而根据a，b和c的关系求得c，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据题意可知P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得．
（Ⅲ）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理根据正弦函数的性质求得y的最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由得
所以圆P的半径为
解得所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以
设t=cosθ，θ∈（0，π），则
当，即，且x=0，y取最大值2．