Question

已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若a，c，b成等差数列，且，求c边的长．

Answer

（1）根据两角和与差公式得到sin2C等于sinC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由a，c，b成等差数列，根据等差数列的性质得到2c=a+b，再根据，，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，a+b=2c及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解析】
（1）∵sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C
∴sin（A+B）=sin2C，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵0＜C＜π∴sinC＞0
∴∴．
（2）由a，c，b成等差数列，得2c=a+b．
∵，
即abcosC=18，ab=36；
由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．