Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁=1，=（c为常数，c≠1，n∈N⁺），且a₁，a₂，a₃成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，记，求数列{h_n}的前n项和．

Answer

（1）由已知可求S2，S3，进而求出a2，a3，结合等差数列的性质可求
（2）由（1）可知==，利用叠乘法即可求解Sn，然后根据n≥2时，an=Sn-Sn-1，n=1时，a1=S1，可求
（3）由题意可求hn，结合数列的通项的特点考虑利用错位相减求解数列的和
【解析】
（1）∵S1=1，=
∴S2=1+c，S3=
∴a2=c，a3=
∵a1，a2，a3成等差数列
∴2a2=a1+a3
∴2c=
解可得，c=1（舍）或c=2
（2）∴==
∴
则=
∴
∵a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1==n
当n=1时，a1=S1=1也适合上式
故an=n
（3）由题意可得，=（-1）n-1•n•2n-1=n•（-2）n-1
∴Tn=1•（-2）+2•（-2）+…+n•（-2）n-1
-2Tn=1•（-2）+2•（-2）2+…+（n-1）（-2）n-1+n•（-2）n
两式相减可得，3Tn=1+（-2）+（-2）2+…+（-2）n-1-n•（-2）n
=-n•（-2）n
∴