Question

已知二次函数y=f（x），满足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值为-1．
（1）若函数y=F（x），x∈R为奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x），求函数y=F（x），x∈R的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由f（-2）=f（0）可知函数的对称轴x=-1，结合f（x）的最小值为-1可设f（x）=a（x+1）2-1
然后代入f（0）=0可求a，结合函数y=F（x）为奇函数及x＞0时，F（x）=f（x）可求F（x）
（2）代入整理求出g（x），分类讨论函数g（x）为一次函数及二次函数两种情况分别 讨论即可求解
【解析】
（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴函数的对称轴x=-1
∵f（x）的最小值为-1．
由题意可设f（x）=a（x+1）2-1
∵f（0）=a-1=0
∴a=1
∴f（x）=x2+2x
∵y=F（x）为奇函数，
∴F（0）=0
∵当x＞0时，F（x）=f（x）=x2+2x
∴x＜0时，-x＞0
∴F（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x
∴F（x）=-（-x）=-x2+2x
F（x）=
（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1=x2-2x-λ（x2+2x）+1
=（1-λ）x2-2（1+λ）x+1
若g（x）在[-1，1]上是减函数
①若1-λ=0即λ=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上单调递减，满足题意
②若1-λ＜0即λ＞1时，g（x）=（1-λ）x2-2（1+λ）x+1是开口向下的抛物线，对称轴x=
则由题意可得
∴λ＞1满足题意
③若1-λ＞0即λ＜1时，g（x）=（1-λ）x2-2（1+λ）x+1是开口向上的抛物线，对称轴x=
∴
∴0≤λ＜1
综上可得，λ≥0