Question

已知函数，其中a，b为实数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间，并用定义加以证明；
（3）在（2）的条件下，求函数f（x）在上的最大值和最小值．

Answer

（1）利用奇偶性的定义即可判断，注意考虑参数；
（2）由f（1）=4，且f（-1）=-2可求得a，b值，从而求得f（x），利用导数可求得其单调区间，然后用定义证明即可；
（3）由（2）可知f（x）在上的单调性，据单调性即可求得其最值；
【解析】
（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f（-x）+f（x）=（-x-+b）+（x++b）=2b，
只有当b=0时f（x）为奇函数；
（2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得，解得a=2，b=1．
则f（x）=x++1，f′（x）=1-，令f′（x）＞0解得x＞，令f′（x）＜0解得0＜x＜，
所以f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；
设＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（）-（）=，
因为＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-2＞0，x1x2＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）是（，+∞）上的增函数；
设0＜x1＜x2＜，则f（x1）-f（x2）=（）-（）=，
因为0＜x1＜x2＜，所以x1-x2＜0，x1x2-20，
故f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）是（0，）上的增函数．
（3）由（2）知：f（x）在[，]上递减，在[，3]上递增，
所以f（x）的最小值为f（）=2+1，
又f（）=，f（3）=，
所以f（x）的最大值为f（）=．