Question

若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2ex+x2+2x零点的个数即可．
【解析】
设P（x，y） （x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（-x，-y），
于是，化为2ex+x2+2x=0，
令φ（x）=2ex+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．
由x2+2x≤0，解得-2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[-2，0]即可．
求导φ′（x）=2ex+2x+2，
令g（x）=2ex+2x+2，则g′（x）=2ex+2＞0，
∴φ′（x）在区间[-2，0]上单调递增，
而φ′（-2）=2e-2-4+2＜0，φ′（-1）=2e-1＞0，
∴φ（x）在区间（-2，0）上只存在一个极值点x．
而φ（-2）=2e-2＞0，φ（-1）=2e-1-1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函数φ（x）在区间（-2，-1），（-1，0）分别各有一个零点．
也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．
故选B．