Question

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer

（1）根据题意，3-x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值，通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（1）的函数，分别进行化简，利用关于t的方程必须有两正根建立关系式，可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
【解析】
（1）由题意：，
且当t=0时，x=1．
所以k=2，即 ．
当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．
化妆品的售价为 （万元/万件）
所以年利润y=（万元）
把
代入整理得到 ，其中t≥0．
（2）去分母整理得到：t2+2（y-49）t+2y-35=0．
该关于t的方程在[0，+∞）上有解．
当2y-35≤0，即y≤17.5时，必有一解．
当2y-35＞0时，该关于t的方程必须有两正根
所以 ．解得：17.5＜y≤42．
综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．
所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．…（12分）