Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．
（1）若∥，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．

Answer

（1）根据向量平行的坐标表示式，建立关于x的等式，化简整理可得tanx=2．由此结合三角函数“弦化切”，即可算出sinx•cosx的值；
（2）由向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简整理，可得f（x）=sin（2x+）+．结合x∈[0，]和正弦函数的图象，即可得到函数f（x）在区间[0，]上的值域．
【解析】
（1）∵向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．
∴由∥，可得sinxcosx=2cos2x，
两边都除以cos2x，得tanx=2．
∴sinx•cosx===．…（6分）
（2）由题意，得
f（x）==sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+．
∵0≤x≤，∴≤2x+≤．
∴≤sin（2x+）≤1．
可得1≤f（x）≤，故函数f（x）的值域为[1，]．…（12分）